Université Libre de Bruxelles
Études sur les fonctions
en vue du test d'admission en mathématiques
Volume 2 - Notions avancées
Antoine DIERCKX
Version du 4 décembre 2024
1
Résumé
Les notes qui suivent sont à usage strictement personnel et n'ont été ni relues ni corrigées par
un
·
e professionnel
·
le. Elles sont destinées à introduire certains concepts et techniques
mathématiques mais ne constituent en aucun cas un syllabus. De très bons ouvrages, complets et
en accès libres, peuvent être trouvés ici [1] et là [2].
Cette note est séparée en deux volumes :
le premier porte sur des notions fondamentales, indispensables à la réussite du test d'admission
en mathématique.
le deuxième aborde des notions plus avancées, qui vous seront utiles plus tard dans votre
parcours.
J'aimerais également remercier les personnes qui m'ont aidé dans la rédaction et la correction de
cette note, en particulier : Sarah Lejeune et Clara Hannon.
S'il n'y pas de solution, c'est qu'il n'y a pas de problème
Les Shadocks
Enn, si vous avez des remarques et/ou des corrections, contactez moi à l'adresse
antwandirx@gmail.com
.
Bonne lecture et bon courage !
TABLE DES MATIÈRES
2
Table des matières
I Trigonométrie 4
1 Triangles et cercles 5
1.1 Rappel sur les triangles rectangles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2 Théorème de Pythagore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.3 Distance euclidienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.4 Cercles et angles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.5 Sinus et cosinus dans un cercle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.6 Sinus et cosinus dans un triangle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.7 Fonctions trigonométriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.8 Étude des fonctions trigonométriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.8.1 Ensemble image . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.8.2 Identité remarquable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.8.3 Périodicité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.8.4 Représentation graphique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.9 Exercices simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.10 Problèmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
II Fonctions usuelles [partie en cours de rédaction] 17
2 Propriétés d'une fonction 18
2.1 Rappel de la dénition d'une fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.1.1 Ensemble de départ et domaine de dénition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.1.2 Ensemble d'arrivée et ensemble image . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.2 Injectivité, surjectivité et bijectivité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.2.1 Fonction injective (
:
x → 1/x
) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.2.2 Fonction surjective (
:
x → x
2
sur
R
+
) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.2.3 Fonction bijective (
:
x → x
) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.2.4 Fonction ni injective ni surjective . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.3 Symétries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.3.1 Parité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.3.2 Réciproque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3 Manipulation de fonction 22
3.1 Translation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3.1.1 Translation de la variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3.1.2 Translation de l'image . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3.2 Dilatation et contraction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3.2.1 Dilatation et contraction de la variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3.2.2 Dilatation et contraction de l'image . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3.3 Renversement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3.3.1 Renversement de la variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3.3.2 Renversement de l'image . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3.4 Réciproque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
4 Inventaire des fonctions usuelles et de leurs propriétés 22
4.1 Les polynômes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
4.2 Les fonctions trigonométriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
4.2.1 La fonction sinus et sa réciproque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
4.2.2 La fonction cosinus et sa réciproque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
4.2.3 La fonction tangente et sa réciproque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
4.3 Les fonctions puissances . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
4.4 Le logarithme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
TABLE DES MATIÈRES
3
4.5 L'exponentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
III Calcul diérentiel et Intégral [partie en cours de rédaction] 23
5 Notion de limite et calcul innitésimal 24
6 Pente et dérivée 24
6.1 Pente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
6.2 Dérivée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
7 Intégrale 24
IV Solutions des exercices et problèmes 25
8 Solutions des exercices sur la trigonométrie 26
V Formulaire 28
Références 28
4
Première partie
Trigonométrie
Le but de cette partie est l'introduction d'un nouveau pan des mathématiques : la
trigonométrie
.
Il s'agit de l'étude des triangles, des angles et des courbes. Partout où un cercle et une droite se
côtoient se cache des notions de trigonométries.
Il est probable, si vous vous êtes déjà frotté à cette discipline à l'école, qu'elle vous en ait laissé
un souvenir épineux, constitués de règles compliqués à retenir bêtement par coeur et de formules
mathématiques alambiquées. Nous essayerons ici d'éviter un tel enseignement nécrosé, et l'on veillera
à se concentrer sur une approche intuitive an de limiter autant que faire se peut l'apprentissage façon
bétail si cher à notre enseignement public.
1
La trigonométrie une matière assez complexe et qui demande plusieurs lectures avant d'intégrer les
concepts. Si vous avez des dicultés avec ce sujet, je ne peux trop vous recommander les vidéos de
Clipédia sur le sujet. [4]
Une synthèse sur les fonctions trigonométriques peut également être trouvée ici.[5]
1. Si le sujet de l'enseignement des maths vous intéresse, je ne peut trop vous recommander le livre suivant :
La
lamentation d'un mathématicien
[3]
1 TRIANGLES ET CERCLES
5
1 Triangles et cercles
Commençons par le commencement. Avant de s'aventurer dans l'étude des cercles, il nous faut pas-
ser par celle des triangles. Cela nous permettra également de dénir une distance en 2 et 3 dimensions,
ce qui nous sera utile pour la suite.
1.1 Rappel sur les triangles rectangles
Dénition 1.1.
Un triangle de sommets
A, B, C
, de cotés
a, b, c
et d'angles
α, β, γ
:
T (A, B, C)
est dit rectangle en
C
si
l'angle
∠B
C
A = 90
◦
.
Par rapport à l'angle
∠A
B
C = β
, on nomme
b
le
coté opposé
,
a
la
coté adjacent
,
c
l'
hypoténuse
.
B C
A
a
c
b
β
Remarque.
Par convention, on note avec une
lettre majuscule
les sommets, un
lettre minuscule
les
cotés et une
lettre grecque
les angles.
De plus, le coté
a
est toujours à l'opposé du sommet
A
et de l'angle
α
. De même pour
b
et
c
.
1.2 Théorème de Pythagore
Maintenant que nous savons nommer les éléments d'un triangle, nous pouvons énoncer le théorème
de Pythagore :
Théorème 1.1 (Pythagore).
Soit
T (a, b, c)
un triangle rectangle en C.
Alors le carré de la longueur de l'hypoténuse (ou côté opposé à l'angle droit) est égal à la somme
des carrés des longueurs des deux autres côtés.
Si on nomme
a
et
b
le cotés adjacents à l'angle droit du triangle rectangle, et
c
son coté opposé,
on peut écrire :
a
2
+ b
2
= c
2
(1.1)
ou encore :
c =
p
a
2
+ b
2
(1.2)
Remarque.
Notons qu'on ne considère pas le cas où
c < 0
(c'est à dire
c = −
√
a
2
+ b
2
) car une distance
est, par dénition, positive ou nulle.
1.3 Distance euclidienne
Dénition 1.2 (Distance entre deux points).
Soit deux points
(x
1
, y
1
)
et
(x
2
, y
2
)
. On dénit
la distance entre ces deux points à l'aide du théorème de Pythagore :
d
2
≡ (x
2
− x
1
)
2
+ (y
2
− y
1
)
2
(1.3)
d =
p
(x
2
− x
1
)
2
+ (y
2
− y
1
)
2
(1.4)
d =
p
∆x
2
+ ∆y
2
(1.5)
où
∆x = x
2
− x
1
et
∆y = y
2
− y
1
1 TRIANGLES ET CERCLES
6
Figure 1
Illustration de la distance euclidienne
[6]
Remarque.
Il y a plusieurs manière de dénir une
distance. Celle présentée ici est dite
euclidienne
ou
distance
usuelle
.
1.4 Cercles et angles
Avant de commencer la trigonométrie proprement dite, on va se simplier la vie en utilisant une
nouvelle unité d'angle : le
radian
.
Notation
1.3
.
An de représenter un cercle de centre
c = (x
c
; y
c
)
et de rayon
r > 0
, on note
C(c, r)
Dénition 1.4 (Cercle trigonométrique).
Le cercle trigonométrique est le cercle 'le plus simple', c'est-à-dire de centre
c = (0; 0)
et de
rayon
r = 1
. On l'écrit
C
(0; 0), 1
Propriété 1.2 (Rappel sur le cercle).
Soit
C
un cercle de rayon
r
. Alors :
sa circonférence est donné par
L = 2πr
son aire est donnée par
A = πr
2
Le volume d'une pizza de rayon
z
et d'épaisseur
a
est :
π · z · z · a
.
Remarquons que le rapport entre la circonférence d'un cercle et son rayon est toujours égale à
L
r
=
2πr
r
= 2π
Il est dès lors naturel de dénir l'angle formé par un tour complet (soit 360
°
) par
2π
radians. La
dénition du radian est équivalente mais dière quelque peu.
Dénition 1.5 (Radian).
Soit
C
un cercle de rayon
r
. On dé-
nit un angle d'un radian
θ = 1
rad comme l'angle pour lequel la
longueur de l'arc
∆s
de cercle sous-tendu par cet angle est égal au
rayon
r
.
Dénition 1.6 (Angle orienté).
Un angle orienté peut être po-
sitif ou négatif.
Il est positif lorsqu'il tourne dans le sens inverse des aiguilles d'une
montre (le
sens trigonométrique
), et négatif sinon.
r
r
∆θ
∆s = r
1 TRIANGLES ET CERCLES
7
Dénition 1.7 (Quadrant).
Le cercle trigonométrique se découpe en 4 quadrants (généralement
indiqué en chire romain), numéroté selon le sens trigonométrique .
x
y
III
III IV
Propriété 1.3 (Arc de cercle).
La longueur d'un arc de cercle
∆s
de rayon
r
intercepté par
un angle
θ
(en radian) est donnée par
∆s(θ) = θ · r
On retrouve bien que
∆s(θ = 2π) = 2π · r = L
.
1.5 Sinus et cosinus dans un cercle
Première approche du sinus et cosinus
Avant de donner la vraie dénition du sinus et du cosinus, les deux fondations de la trigonomé-
trie, faisons un rapide détour par le monde physique pour comprendre la centralité de celles-ci.
Imaginons un cercle (de rayon
r
), sur lequel se déplace un
point
P
. Si ce cercle est centré en l'origine, la distance entre
mon point et l'origine sera toujours
d = r
. Si je connais l'angle
θ
entre mon point
P
et l'axe des
x
, j'ai susamment d'infor-
mation pour localiser mon point.
Quelle est donc la coordonnée de mon point
P = (P
x
, P
y
)
?
C'est ici que le sinus et cosinus entrent en jeux.
Si j'appelle
|P |
la distance entre l'origine et
P
, ses coordon-
nées seront
P =
|P | · cos(θ), |P | · sin(θ)
(1.6)
Il s'agit de la
projection
de la distance
|P |
(ou de manière
plus correcte du vecteur
→
P
) sur son abscisse et son ordonnée.
O
x
y
P
•
P
x
P
y
θ
cos(θ)
sin(θ)
1 TRIANGLES ET CERCLES
8
1.6 Sinus et cosinus dans un triangle
Vers une dénition rigoureuse
Reprenons le cercle précédent, et simplions les choses. On choisit la distance
|P | = 1
et donc le
rayon du cercle
r = 1
. Il s'agit ainsi du cercle trigonométrique
C
(0; 0), 1
.
En reliants les points
O
,
P
x
et
P
, on trace un triangle rec-
tangle. On va essayer de redénir le cosinus et le sinus en
fonction de ce triangle.
Reprenons la formule 1.6 avec
|P | = 1
. On a :
P = (P
x
, P
y
) =
cos(θ), sin(θ)
(1.7)
Ainsi,
P
x
= cos(θ)
et
P
y
= sin(θ)
. En observant le triangle
rectangle formé, cela correspond à
cos(θ) = a
et
sin(θ) = b
Pour être complet, pour que cette relation reste vrai même si
le rayon du cercle
r = 1
, il faut diviser par celui-ci. On obtient
alors
cos(θ) =
a
r
=
a
c
et
sin(θ) =
b
r
=
b
c
puisque le rayon correspond au coté
c
de notre triangle.
O
x
y
P
•
P
x
P
y
cos(θ)
sin(θ)
P
O
P
x
a = cos(θ)
c = r
b = sin(θ)
θ
Nous venons d'obtenir le lien entre le cercle trigonométrique et les triangles rectangles. Il est à présent
temps de passer aux dénitions.
Dénition 1.8 (trigonométrie dans un triangle).
Soit
T (a; b; c)
un tri-
angle rectangle en
C
avec l'hypoténuse
c = 1
et
β
l'angle opposé au coté
b
.
On dénit :
le sinus de
β
comme le rapport entre le coté opposé et l'hypoténuse.
sin(β) =
coté opposé
hypoténuse
=
b
c
(1.8)
le cosinus de
α
comme le rapport entre le coté adjacent et l'hypoténuse.
cos(α) =
coté adjacent
hypoténuse
=
a
c
(1.9)
la tangente comme le rapport du sinus par le cosinus.
tan(α) =
sin(α)
cos(α)
=
b
a
(1.10)
B C
A
a
c
b
β
Remarque.
Il existe un moyen mnémotechnique pour retenir ces dénitions :
SOH CAH T OA → S =
0
H
, C =
A
H
, T =
O
A
(1.11)
avec
O
pour coté opposé ,
A
pour coté adjacent et
H
pour hypoténuse .
1 TRIANGLES ET CERCLES
9
Remarque.
Si les fonctions
sin
et
cos
semble naturelles (puisqu'elles paramétrisent la position d'un
point se déplaçant sur le cercle trigonométrique), on peut se poser la question de l'utilité de la fonction
tan
.
Pour la comprendre, reprenons le cercle suivant :
O
x
y
P
•
P
x
P
y
∆x
∆y
Par dénition, la fonction tangente est donnée par
tan(θ) =
coté opposé
coté adjacent
Or, si l'on inscrit le triangle rectangle dans le cercle ci-contre, le coté opposé est
∆y
et le coté adjacent
est
∆x
. On a alors :
tan(θ) =
∆y
∆x
Ce résultat sera très utile dans la partie III.
1 TRIANGLES ET CERCLES
10
1.7 Fonctions trigonométriques
Dénition 1.9 (Fonctions trigonométriques).
Une fonction trigonométrique associe à un
angle
θ
la valeur des rapports des cotés d'un triangle rectangle inscrit dans le cercle unité (
cercle
trigonométrique
) selon la dénition 1.8. On a donc 2 fonctions trigonométriques fondamentales :
sin :
(
R −→ [−1; 1]
θ 7−→ sin(θ)
(1.12)
cos :
(
R −→ [−1; 1]
θ 7−→ cos(θ)
(1.13)
Une troisième fonction est dénie comme étant le rapport des deux premières :
tan :
(
R −→ [−1; 1]
θ 7−→ tan(θ) =
sin(θ)
cos(θ)
(1.14)
Ces nouvelles fonctions sont très diérentes de ce que nous avons étudié précédemment, et des
notions comme les racines et la croissance ne sont pas aussi simple que dans le cas des polynômes.
1.8 Étude des fonctions trigonométriques
Voyons à présent quelques propriétés de ces fonctions an de commencer à se construire une intuition
sur celles-ci.
1.8.1 Ensemble image
Propriété 1.4 (Fonctions bornées).
Les fonctions
sin(x)
et
cos(x)
sont bornées pour tout
x
réels.
Preuve.
Montrons que la fonction
sin(x)
est bornée.
Par dénition,
sin(x) =
coté opposé
hypoténuse
=
b
c
Or, par le théorème de Pythagore,
a
2
+ b
2
= c
2
=⇒ b
2
= c
2
− a
2
On a donc :
sin(x)
2
=
b
2
c
2
=
c
2
− a
2
c
2
= 1 −
a
c
2
≤ 1
On vient de montrer que
sin(x)
2
≤ 1 ∀x ∈ R
Ceci implique que
−1 ≤ sin(x) ≤ 1 ∀x ∈ R
La cas du
cos(x)
se traite de manière similaire, et est laissé en exercice au lecteur
·
ice.
1.8.2 Identité remarquable
Propriété 1.5 (Identité trigonométrique pythagoricienne).
sin
2
(x) + cos
2
(x) = 1 ∀x ∈ R
(1.15)
1 TRIANGLES ET CERCLES
11
Preuve.
Repartons de la dénition géométrique du sinus et du cosinus :
(sin(x))
2
+ (cos(x))
2
=
b
c
2
+
a
c
2
=
b
2
c
2
+
a
2
c
2
=
a
2
+ b
2
c
2
=
c
2
c
2
= 1
1.8.3 Périodicité
Propriété 1.6 (Périodicité).
Les fonctions
sin
,
cos
et
tan
sont périodiques, c'est-à-dire qu'elles
se répètent après une période donnée. Les fonctions
sin
et
cos
ont toutes les deux une période
P = 2π
, et la fonction
tan
possède une période
P = π
. On écrit :
sin(x) = sin(x + 2π)
(1.16)
cos(x) = cos(x + 2π)
(1.17)
tan(x) = tan(x + π)
(1.18)
Preuve.
Les fonctions trigonométriques sont dénies à partir d'un triangle rectangle, lui même
caractérisé par un angle. Or, un angle n'est pas modié lorsqu'on lui ajoute un tour complet (soit
2π
rad ). Il en est de même pour son triangle associé, et enn pour les fonctions
cos
,
sin
et
tan
.
Propriété 1.7 (Symétries).
Les fonctions
sin
,
cos
et
tan
sont symétriques, c'est-à-dire que l'on
peut changer les variables de certaines manières sans changer l'image de la fonction. On écrit :
sin(x) = −sin(−x)
(1.19)
cos(x) = cos(−x)
(1.20)
tan(x) = −tan(x)
(1.21)
1.8.4 Représentation graphique
Nous avons vu que les fonctions sinus et cosinus sont bornées et liées par cette
identité pythagoricienne. Il est temps de se les représenter sur un graphique.
Pour cela, calculons d'abords quelques valeurs particulières de sinus et cosinus :
B C
A
a
c
b
β
θ = 0
: cela correspond à l'angle nul, c'est à dire au coté
b = 0
et
c = a
.
Dans ce cas,
sin(0) =
0
c
= 0
cos(0) =
a
c
=
a
a
= 1
tan(0) =
sin(0)
cos(0)
=
0
1
= 0
1 TRIANGLES ET CERCLES
12
θ = π/4
: puisqu'un tour complet veut
2π
, un angle de
π/4
vaut 45
◦
. Cela correspond au cas
où
a = b
, ce qui implique
c
2
= a
2
+ b
2
= 2a
2
, ce qui implique
c =
√
2a
2
=
√
2a
.
Dans ce cas,
sin
π
4
=
b
c
=
a
√
2a
=
1
√
2
=
√
2
2
cos
π
4
=
a
c
=
a
√
2a
=
1
√
2
=
√
2
2
tan
π
4
=
sin
π
4
cos
π
4
=
√
2
2
√
2
2
= 1
θ =
π
2
: puisqu'un tour complet veut
2π
, un angle de
π
2
vaut 90
◦
. Cela correspond au cas où
a = 0
, et où
c = b
.
Dans ce cas,
sin
π
2
=
b
c
=
b
b
= 1
cos
π
2
=
a
c
=
0
c
= 0
tan
π
2
=
sin
π
2
cos
π
2
=
1
0
On observe que la fonction
tan(θ)
n'est pas dénie
2
en
θ =
π
2
.
Il reste deux valeurs intéressantes pour
θ
mais qui ne seront pas traitée ici :
θ =
π
6
: on a alors
sin
π
6
=
1
2
et
cos
π
6
=
√
3
2
θ =
π
3
: on a alors
sin
π
3
=
√
3
2
et
cos
π
3
=
1
2
Ces valeurs sont reprises sous forme de tableau et graphiquement ci-dessous :
2. N'étant pas Chuck Norris, la division par zéro n'est pas à notre portée. On se contentera de dire que la fonction
est indéterminée en ce point.
1 TRIANGLES ET CERCLES
13
Figure 2
Angles remarquables sur le cercle trigonométrique [7]
x 0
π
6
π
4
π
3
π
2
sin(x) 0
1
2
√
2
2
√
3
2
1
cos(x) 1
√
3
2
√
2
2
1
2
0
tan(x) 0
√
3
3
1
√
3 ∅
Table 1
Tableau des valeurs remarquables dans le premier quadrant
Après tout ce suspens, il est nalement temps pour nous d'admirer une représentation graphique
des fonctions trigonométriques.
1 TRIANGLES ET CERCLES
14
−2π
−1
1
2
π
−π
−
1
2
π +
1
2
π
+π
+1
1
2
π
+2π
−4
−3
−2
−1
+1
+2
+3
+4
x
y
y = sin x
y = cos x
y = tan x
Why was
π
sad ?
'cos
π
is negative
1 TRIANGLES ET CERCLES
15
1.9 Exercices simples
Remarque.
An de ne pas entraver le plaisir de la résolution d'exercices, les indications et/ou solutions
sont localisées dans la partie IV. Les symboles suivants sont utilisés :
indique que l'usage de la calculatrice est recommandée.
indique la présence d'une indication.

indique la présence d'une résolution partielle de l'exercice.
indique la présence de la solution nale.

indique la présence d'une explication détaillée.
Exercice 1.1 (
).
Quel est l'aire d'un carré de diagonale égale à
5cm
?
Exercice 1.2.
Donner une mesure en radians de l'angle formé par les aiguilles d'une montre (petite
et grande) aux heures suivantes :
à 3h
à 6h
à 8h
à 13h
Exercice 1.3 (
).
Un phare de 40m de haut voit au loin deux bateaux
B
1
et
B
2
. Depuis la bateau
B
1
(resp.
B
2
), le haut du phare forme un angle de 22
◦
(resp. 16
◦
).
Calculer la distance entre les deux bateaux
Exercice 1.4.
Soit
θ
l'angle entre l'axe des
x
et un point
M
sur le cercle trigonométrique. Placer sur
ce cercle tout les points
M
tels que
M =
27π
6
+ 2π · k, kinZ
Exercice 1.5 (
).
Un télésiège d'une longueur de
1453m
transporte des skieur
·
euses depuis une
altitude de
1839m
jusqu'à
2261m
.
Calculer l'angle formé par le câble du télésiège avec l'horizontale, en radian et en degré.
Exercice 1.6 (
).
Une personne mesurant 1,8m, situé à 100m de la tour Eiel, observe son sommet
avec un angle de 72,8
◦
.
Calculer la hauteur de la tour Eiel.
1.10 Problèmes
Il vaut mieux mobiliser son intelligence sur des conneries que mobiliser sa connerie sur des choses
intelligentes.
Les Shadoks
Exercice 1.7 (

8.0.1).
Résoudre les équations et inéquations suivante dans
R
:
1.
cos(x) =
√
2
2
2.
sin(3x) =
1
2
1 TRIANGLES ET CERCLES
16
3.
cos
3x +
π
4
= cos
x +
π
3
4.
cos(2x) = sin(3x)
5.
cos(x) ≥
√
2
2
Indice : utilisez le résultat du point 1.
6.
sin(3x) >
1
2
Indice : utilisez le résultat du point 2.
Exercice 1.8 (

8.0.2).
Résoudre dans les réels l'équation suivante :
cos
2
(x) =
1
2
17
Deuxième partie
Fonctions usuelles [partie en cours de
rédaction]
Remarque.
Une partie des notes qui suivent sont issues de ce pdf.[8]
Dans cette partie, nous allons faire un inventaire des fonctions les plus communes, et étudier leurs
propriétés. Le but n'est évidemment pas de faire une liste exhaustive ( ce serait impossible), mais de
proposer un ensemble de fonctions de base, ainsi que certaines techniques pour les modier ( translation,
symétries, etc.).
Il faut que je pense à mettre une jolie citation ici
2 PROPRIÉTÉS D'UNE FONCTION
18
2 Propriétés d'une fonction
An de pouvoir classier les fonctions, il est utile d'en étudier d'abords quelques propriétés sup-
plémentaires.
Beaucoup de concepts semblables mais distincts sont présentés dans cette partie, attention à ne pas
les confondre! An de rendre plus concrètes les propriétés présentées ci-après, n'hésitez pas à utiliser
votre calculatrice graphique préférée ou un équivalent en ligne.
3
2.1 Rappel de la dénition d'une fonction
Dénition 2.1.
Soit
X
,
Y
deux ensembles, et
x ∈
X
,
y ∈ Y
. Alors on dénit la
fonction
f
par :
f : X → Y
(2.1)
x 7→ f(x)
(2.2)
où tout élément
x ∈ X
est envoyé sur
au plus
un
élément
y ∈ Y
. Formellement,
∀x ∈ X, ∃!y ∈ Im{f}| y = f(x)
(2.3)
On peut écrire
y = f(x)
Figure 3
Visualisation du
concept de fonction en terme d'en-
sembles
Par dénition donc, un élément de l'ensemble de départ ne peut pas avoir plusieurs images. Gra-
phiquement, si l'on s'imagine tracer la fonction au crayon, on ne peut pas revenir en arrière (par
exemple dessiner une boucle).
Exemple:
Le cercle trigonométrique n'est pas une fonction. En eet, il est dénit comme tout les
points se trouvant à une distance unitaire de l'origine, soit :
x
2
+ y
2
= 1
⇐⇒ y
2
= 1 − x
2
⇐⇒ y = ±
p
1 − x
2
Le problème ici est le signe
±
. Ceci veut dire que pour chaque
x ∈ [−1, 1]
, il y a deux images. Par
exemple, si
x = 0
,
y = ±
√
1 − 0 = ±1
.
Dans toute cette partie II, nous allons considérer une fonction
f :
(
R −→ R
x → f (x)
Nous allons maintenant nous intéresser plus précisément aux ensembles
X
et
Y
.
2.1.1 Ensemble de départ et domaine de dénition
Dans notre étude, nous considérons toujours des fonctions réelles à variable réelle. Notre ensemble
de départ est donc
R
. Cependant, certaines fonctions ne sont pas dénies pour tout nombres réels.
Exemple:
La fonction
inverse
dénie par
f :
(
R −→ R
x →
1
x
3. Je recommande
https://www.desmos.com/calculator
et
https://www.geogebra.org/graphing?lang=fr
.
2 PROPRIÉTÉS D'UNE FONCTION
19
n'est pas dénie en
x = 0
puisqu'on ne peut pas diviser par 0. On dit que son
domaine
est diérent
de son ensemble image.
Dénition 2.2 (Domaine de dénition).
Soit une fonction
f :
(
X −→ Y
x → f (x)
Son domaine de dénition
D
f
est déni comme :
D
f
b= {x ∈ X|f(x)
est dénie
}
(2.4)
Ainsi, en général :
D
f
⊂ X
Exemple:
Soit
f : x → 1/x
Alors
D
f
= R\{0}
Soit
g : x → sin(x)
Alors
D
g
= R
Soit
h : x → tan(x)
Alors
D
h
= R\{
π
2
+ kπ; k ∈ Z}
Soit
u: x 7→
√
4 − x
Alors
D
u
=] − ∞; 4]
Soit
v : x 7→
p
4 − x
2
Alors
D
u
= [−2; 2]
Soit
w : x 7→
1
√
4 − x
2
Alors
D
u
=] − 2; 2[
2.1.2 Ensemble d'arrivée et ensemble image
De la même manière que le domaine de dénition d'une fonction ne rempli pas toujours son
ensemble de départ, son ensemble d'arrivée peut également se trouver vide à certains endroits. On
introduit alors l'
ensemble image
.
Dénition 2.3 (Ensemble image).
Soit une fonction
f :
(
X −→ Y
x → f (x)
Son ensemble image
Im{f}
est déni comme :
Im{f} b= {y ∈ Y |∃x ∈ X f(x) = y} = {f(x)|x ∈ X} b= f(X)
(2.5)
Ainsi, en général :
Im{f} ⊂ Y
2.2 Injectivité, surjectivité et bijectivité
On peut à présent classier les fonctions avec ces nouvelles notions.
Les relations entre le domaine
D
f
, l'ensemble de départ
X
, l'image
Im{f}
et l'ensemble d'arrivée
Y
sont décrites par les propriétés d'
injectivité
et de
surjectivité
.
2 PROPRIÉTÉS D'UNE FONCTION
20
2.2.1 Fonction injective (
:
x → 1/x
)
Dénition 2.4 (Injectivité).
Soit une fonction
f :
(
D
f
⊂ X −→ Im{f} ⊂ Y
x → f(x)
f
est dite
injective
si deux éléments distincts de
D
f
possèdent tou-
jours deux images distinctes. Plus formellement :
∀x
1
, x
2
∈ D
f
, x
1
= x
2
=⇒ f(x
1
) = f(x
2
)
(2.6)
⇐⇒ ∀x
1
, x
2
∈ D
f
, f (x
1
) = f(x
2
) =⇒ x
1
= x
2
(2.7)
Figure 4
Illustration d'une
fonction injective non surjec-
tive
Exemple:
Un exemple de fonction injective est la fonction inverse :
x 7→
1
x
Elle est injective puisque
∀x
1
, x
2
∈ D
1/x
= R\{0}, f (x
1
) = f(x
2
) ⇐⇒
1
x
1
=
1
x
2
⇐⇒ x
2
= x
1
Elle n'est pas surjective car pour
y = 0
, il n'a a pas d'antécédent. En eet,
1
x
= 0 ⇒ x = ±∞
ce que
est hors du domaine
D
1/x
.
2.2.2 Fonction surjective (
:
x → x
2
sur
R
+
)
Dénition 2.5 (Surjectivité).
Soit une fonction
f :
(
D
f
⊂ X −→ Im{f} ⊂ Y
x → f(x)
f
est dite
surjective
si chaque élément de
Im{f}
possèdent toujours
au moins un antécédent dans
D
f
. Plus formellement :
∀y ∈ Im{f}, ∃x ∈ D
f
| y = f(x)
(2.8)
(2.9)
Figure 5
Illustration d'une
fonction non injective et sur-
jective
Exemple:
Un exemple de fonction surjective est la fonction carré :
x 7→ x
2
Elle est surjective puisque
∀y ∈ Im
x
2
= R
+
, ∃x ∈ D
f
| y = x
2
⇐⇒
√
y = x
ou
√
y = −x
Elle n'est pas injective puisque pour
x
1
= 2
et
x
2
= −2
, on a
f(x
1
) = 2
2
= 4 = (−2)
2
= f(x
2
)
2 PROPRIÉTÉS D'UNE FONCTION
21
2.2.3 Fonction bijective (
:
x → x
)
Dénition 2.6 (Bijectivité).
Soit une fonction
f :
(
D
f
⊂ X −→ Im{f} ⊂ Y
x → f(x)
f
est dite
bijective
si elle est à la fois injective et surjective. Formel-
lement,
∀y ∈ Im{f}, ∃!x ∈ X | y = f(x)
(2.10)
Figure 6
Illustration d'une
fonction injective et surjective
Exemple:
Un exemple de famille de fonctions bijectives est les droites :
x 7→ ax + b, a ∈ R
0
, b ∈ R
Elle est injective car
∀x
1
, x
2
∈ D
ax+b
, f(x
1
) = f(x
2
) ⇐⇒ ax
1
+ b = ax
2
+ b ⇐⇒ x
1
= x
2
Elle est surjective car
∀y ∈ Im{ax + b}, ∃x ∈ D
ax+b
|y = ax + b
. Ici, on peut prendre
x =
y−b
a
qui est
eectivement toujours déni puisque
a = 0
.
2.2.4 Fonction ni injective ni surjective
Certaines fonctions ne sont ni injectives, ni surjectives. Cependant, on
choisissant astucieusement le domaine
D
f
et l'image
Im{f}
, on peut
toujours se ramener à une fonction surjective.
Figure 7
Illustration d'une
fonction ni injective ni surjec-
tive
2.3 Symétries
En mathématique, on parle de symétrie d'un système lorsqu'on peut modier certaines de ses
variables, d'une certaine façon, sans que le système ne soit modié.
Dans le cas des fonctions, il existe des familles de symétries communes, qui l'est utile de couvrir avant
d'aborder la manipulation des fonctions.
2.3.1 Parité
Fonction paire
Dénition 2.7.
Soit
f :
(
R → R
x 7→ f (x)
une fonction réelle à variable réelle. Elle est dite paire si
∀x ∈ R
f(−x) = f(x)
(2.11)
3 MANIPULATION DE FONCTION
22
Fonction impaire
Dénition 2.8.
Soit
f :
(
R → R
x 7→ f (x)
une fonction réelle à variable réelle. Elle est dite impaire
si
∀x ∈ R
f(−x) = −f(x)
(2.12)
Symétrie par rapport à
x = 0
2.3.2 Réciproque
3 Manipulation de fonction
Avant de dresser une liste de fonctions, nous allons voir diérentes techniques générales pour trans-
former des fonctions.
Inspiré de
Révisions : manipulations de graphes
[9]
3.1 Translation
3.1.1 Translation de la variable
3.1.2 Translation de l'image
3.2 Dilatation et contraction
3.2.1 Dilatation et contraction de la variable
3.2.2 Dilatation et contraction de l'image
3.3 Renversement
3.3.1 Renversement de la variable
3.3.2 Renversement de l'image
3.4 Réciproque
4 Inventaire des fonctions usuelles et de leurs propriétés
4.1 Les polynômes
4.2 Les fonctions trigonométriques
4.2.1 La fonction sinus et sa réciproque
4.2.2 La fonction cosinus et sa réciproque
4.2.3 La fonction tangente et sa réciproque
4.3 Les fonctions puissances
4.4 Le logarithme
4.5 L'exponentielle
23
Troisième partie
Calcul diérentiel et Intégral [partie en cours
de rédaction]
Cette section a pour but d'introduire les notions de bases du calcul diérentiel (et intégral), à
savoir :
le calcul innitésimal
les dérivées
les intégrales et le théorème fondamental de l'analyse
Ceux-ci constituent le socle d'une théorie mathématique à la base de la plupart de la physique mo-
derne, et qui jouent un grand rôle en informatique.
4
La compréhension de ces notions, parfois complexes, permet néanmoins de grandement simplier
l'étude des polynômes et des fonctions en général.
Quand les lois mathématiques s'appliquent à la réalité, elles ne sont pas exactes, et quand elles
sont exactes, elles ne s'appliquent pas à la réalité.
Albert Einstein
4. Un site web dédié à l'étude des lien entre le
CDI
et le langage informatique (ici en
Python
) peut être trouvé ici.
5 NOTION DE LIMITE ET CALCUL INFINITÉSIMAL
24
5 Notion de limite et calcul innitésimal
Une synthèse sur les limites peut être trouvé ici.[10]
Section plus avancée, sera complétée si on avance susamment dans la matière
6 Pente et dérivée
Section plus avancée, sera complétée si on avance susamment dans la matière
6.1 Pente
6.2 Dérivée
x
y
y = y(x)
x
f(x)
x + ∆x
f(x + ∆x)
∆x
f
′
(x) · ∆x
f(x + ∆x) − f(x)
f(x)
7 Intégrale
J'ai entendu dire que le gouvernement voulait taxer l'ignorance mathématique. C'est drôle, je
pensais que c'était le rôle de la loterie !
Gallagher
25
Quatrième partie
Solutions des exercices et problèmes
Il est dicile de faire la diérence entre un
·
e mathématicien
·
ne qui dort et un
·
e mathématicien
·
ne
qui travaille.
André Lichnerowicz
8 SOLUTIONS DES EXERCICES SUR LA TRIGONOMÉTRIE
26
8 Solutions des exercices sur la trigonométrie
Solution 8.0.1 (1.7).
1. On veut résoudre pour
x ∈ R
l'égalité suivante :
cos(x) =
√
2
2
Si vous connaissez un peu votre tableau des valeurs remarquables 1, vous remarquerez que si
cos(x) =
√
2/2
, alors
x = π/4
. Mais ceci n'est vrai que dans le premier quadrant !
À la question : résous pour
x ∈ [0, π/2]
l'égalité
cos(x) =
√
2
2
, la réponse est eectivement
x = π/4
.
Cependant, dans
R
, le nombre de solutions est inni ! Comment faire pour toutes les obtenir ?
Il faut visualiser le cercle :
Premièrement, on sait que si l'on rajoute
2π
rad à
x
, rien ne change. C'est notre premier
pas vers l'ensemble des solutions. On peut écrire
x =
π
4
+ 2π · k, k ∈ Z
Deuxièmement,
cos
est une fonction paire. Ainsi,
cos(x) = cos(−x)
. On peut donc aussi
prendre la valeur
x = −π/4
, ainsi que tout ses multiples
2π
. C'est notre deuxieme ensemble
de solutions :
x =
−π
4
+ 2π · k, k ∈ Z
Finalement, il faut rassembler ces deux ensembles :
x =
±π
4
+ 2π · k, k ∈ Z
=
8πk ± π
4
, k ∈ Z
2. On veut résoudre pour
x ∈ R
l'équation suivante :
sin(3x) =
1
2
On reconnaît du tableau 1 l'égalité suivante :
sin(θ) = 1/2 ⇒ θ = π/6
(valable entre
0
et
π/2
).
On pose donc
θ = 3x
et on résout pour
θ
.
Le premier ensemble de solution est donné par
θ =
π
6
+ 2π · k, k ∈ Z
Puisque
sin
est la projection d'un angle sur l'axe
y
,
sin(θ + π/2) = sin(θ)
. Notre
deuxième ensemble de solution est donc donné par
θ =
π
6
+
π
2
+ 2π · k, k ∈ Z
=
π
3
+ 2π · k, k ∈ Z
L'ensemble fusionné de solution est donné par :
θ =
π + 12πk
6
, k ∈ Z
et
θ =
2π + 12πk
6
, k ∈ Z
⇐⇒ θ ∈ {
π
6
+ 2πk,
π
3
+ 2πk ; k ∈ Z}
On résout à présent pour
x = θ/3
: il faut tout diviser par 3.
x ∈ {
π
18
+
2
3
πk,
π
9
+
2
3
πk ; k ∈ Z}
8 SOLUTIONS DES EXERCICES SUR LA TRIGONOMÉTRIE
27
Solution 8.0.2 (1.8).
An de résoudre ce problème, il faut procéder par étape.
1. Se ramener à une forme
f(x) = 0
2. Considérer la fonction trigonométrique comme une nouvelle inconnue et résoudre
3. Remplacer et résoudre
4. Ne pas oublier la périodicité
Commençons :
1.
cos
2
x =
1
2
⇐⇒ cos
2
x −
1
2
= 0
On a bien une égalité de la forme
f(x) = 0
.
2. On pose
ex = cos x
et on résout
f(ex) = 0
f(ex) = ex
2
−
1
2
= 0
=
ex −
1
√
2
·
ex +
1
√
2
= 0
⇐⇒ ex ∈ {±
1
√
2
}
3. On remplace
ex
par
cos x
:
ex = cos x = ±
1
√
2
On reconnaît alors la valeur remarquable de
cos =
1
√
2
qui correspond à un angle de
±
π
4
. De
même,
cos = −
1
√
2
correspond à un angle de
±
3π
4
.
Si on nous demandait les solutions sur un intervalle
[−π; π]
, on aurait terminé.
4. En 'ajoutant' la périodicité de
2π
de la fonction
cos
, on obtient :
x ∈{
π
4
+ k
1
· 2π;
−π
4
+ k
2
· 2π;
3π
4
+ k
3
· 2π;
−3π
4
+ k
4
· 2π; k
1
, k
2
, k
3
, k
4
∈ Z}
⇐⇒ x ∈{
π
4
+ k ·
π
2
; k ∈ Z}
28
Cinquième partie
Formulaire
Type de fonction Polynome de degré 1 Polynome de degré 2
Forme générale
f(x) = ax + b f(x) = ax
2
+ bx + c
Racines (
f(x
0
) = 0
)
x
0
=
−b
a
x
±
0
=
−b±
√
b
2
−4ac
2a
Minimum / Maximum
∅ x
min
=
−b
2a
x 0
π
6
π
4
π
3
π
2
sin(x) 0
1
2
√
2
2
√
3
2
1
cos(x) 1
√
3
2
√
2
2
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2
0
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3
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